Superpočítání pro průmysl www.it4i.cz

Nelineární úlohy

Nelineární úlohy se na rozdíl od lineárních vyznačují závislosti na posloupnosti stavů, kterými systém prošel od začátku až do konce děje. Na rozdíl od lineárních úloh je obtížné jednoznačně posoudit řešitelnost úlohy. U nelineárních úloh jsou k dispozici jen omezené prostředky k řešení a to nejčastěji numerické metody. Při řešení nelineárních úloh je třeba mnohem větší zkušenosti a intuice než k řešení lineárních úloh. Nelineární analýzy kladou větší nároky na odbornou kvalifikaci výpočtáře. Úspěšnost při řešení nelineárního problému často závisí na zvolené výpočetní strategii.

Materiálová nelinearita

Konstitutivní vztahy v oblasti pevné fáze deformovatelných těles popisují vztah mezi tenzorem napětí (síly zatěžující materiál) a tenzorem přetvoření (popisuje odezvu materiálu). Nejjednodušší závislost mezi těmito tenzory je popsána Hookeovým zákonem, který je lineárním elastickým modelem. Tento materiálový model platí jen pro malé posuvy a malá přetvoření, jeho odezva je časově nezávislá a po odstranění zatížení působícího na těleso dojde k vymizení deformace. Naopak u materiálů, kde po zatížení nastávají velké vratné deformace bez hystereze, se užívá nelineární elastický model materiálu, ve kterém je definován vzájemný vztah mezi (Cauchyho) tenzorem napětí a (Almansiho) tenzorem přetvoření. Viskoelastický model materiálu se použije, jestliže hraje významnou roli viskozita materiálu. Viskoelastické materiály reagují na deformaci vždy se zpožděním. Zatížení tedy vyvolává časově závislou odezvu a v případě krátkodobého zatížení se materiál chová elasticky. Jestliže se začne uvažovat o creepu a relaxaci kovů za vysokých teplot, je nutné použít nelineární viskoplastický materiál. Poté, co napjatost v tělese dosáhne podmínky plasticity, se k popisu chování materiálu použije elastoplastický model. V oblasti zpevnění materiálu se obvykle předpokládá, že se materiál chová lineárně, multilineárně nebo má charakter obecné křivky. Elastická část deformace v tomto materiálu se řídí Hookeovým zákonem a je vratná, ovšem po překročení jistého napětí existuje i část nevratných deformací materiálu. K popisu plastických deformací reálných kovových materiálů při cyklickém namáhání se musí vzít v potaz Bauschingerův efekt. Ten zohledňuje vzrůst napětí potřebného k uvolnění dislokací nahromaděných na mikrostrukturních překážkách, což je spojeno se změnou mezní plochy plasticity. Toho se dosáhne zobecněním modelu zpevnění materiálu, a to např. s kinematickým zpevněním. Ukazuje se, že pro kovové materiály s prostorově centrovanou mřížkou se musí použít viskoplastický model materiálu, neboť průběh plastických deformací je závislý na deformační rychlosti.

Geometrické nelinearity

Geometrická nelinearita je zapříčiněna velkými posuvy a natočeními, které mohou být doprovázeny velkými přetvořeními. Podle toho se rozlišují geometrické nelinearity:

V obou případech se materiál může chovat lineárně či nelineárně. Geometricky nelineární úlohy jsou tedy úlohy, u kterých se při sledování elementu tělesa musí brát v úvahu nejen tvarové změny, ale i posunutí a rotace elementu (části tělesa) jako tuhého celku. Je nutné připomenout, že posunutí již nemusí být infinitesimální. Posuvy jednotlivých bodů elementu jsou pak složeny z posuvů a rotace tělesa jako tuhého celku a posuvů jednotlivých bodů tělesa v důsledku jeho deformace v nové poloze. Také definice tenzoru napětí a tenzoru přetvoření se liší. Definice tenzoru napětí je složitá. Elementární vnitřní síly v přetvořené konfiguraci se mohou vztahovat k elementárním ploškám, buď v původní, nebo v deformované konfiguraci. Další otázkou je volba tenzoru přetvoření. K tenzoru napětí musí existovat vhodně definovaný tenzor přetvoření tak, aby byly splněny konstitutivní zákony. Příkladem je 2. Piola-Kirchhoffův tenzor napjatosti, který je energeticky konjugovaný s Greenovým tenzorem přetvoření.

Při odvozování geometrických vztahů pro případ lineární teorie pružnosti se předpokládá, že složky tenzoru přetvoření jsou malé (řádově 1e-3). Potom lze zanedbat kvadratické členy geometrických vztahů a používat inženýrský tenzor přetvoření (Cauchyho). Hranicí použitelnosti inženýrského tenzoru přetvoření bývá obvykle uváděna hodnota přetvoření 1%, (tedy přetvoření 1e-2). Formulace vyhovuje pro inženýrskou analýzu úloh. V případech simulace tváření, simulace deformace součástí z pryže, plastu, aj., mohou přetvoření dosáhnout i stovek procent. Nelineární členy pak nelze zanedbat a je nutno použít „složitější“ tenzory přetvoření.

Využití

Partneři