Superpočítání pro průmysl www.it4i.cz

Metody rozložení oblastí FETI

FETI metody patří mezi tzv. metody rozložení oblasti, které převedou původní rozsáhlou úlohu na posloupnost menších úloh. Ty pak lze následně řešit odděleně a tak využít možnosti moderních paralelních počítačů. Hlavní myšlenkou FETI metod je rozložení oblasti na menší nepřekrývající se podoblasti. Ty jsou pak k sobě lepeny pomocí Lagrangeových multiplikátorů vynucujících rovnostní vazby mezi subdoménami. Po vyeliminování primárních proměnných je původní problém redukován na menší duální problém, který je relativně dobře podmíněný. Na obrázku níže je zobrazena část převodové skříně vysokozdvižného vozíku, která je rozložena na 64 podoblastí pomocí volně dostupného softwaru METIS. Původně se pomocí FETI metod řešily úlohy lineární, dnes jsme schopni efektivně řešit náročné kontaktní úlohy včetně přechodových problémů, problémů se třením, problémů s dalšími nelinearitami a kontaktní úlohy tvarové optimalizace.

Paralelní a numerická škálovatelnost

Důležitou vlastností FETI metod, díky které dokážou optimálně využít architektury paralelních počítačů, je jejich škálovatelnost. Algoritmy, které dokážou řešit úlohy na sto procesorech přibližně 100x rychleji než na jednom procesoru, nazýváme paralelně škálovatelné. Náročnější požadavek, který na moderní metody klademe, je jejich numerická škálovatelnost. Tímto rozumíme takovou vlastnost algoritmu, který je schopen vyřešit větší úlohu stejného typu za stejnou dobu přímo úměrným zvýšením počtu procesorů. FETI metody mají obě tyto vlastnosti.

FETI, TotalFETI, Hybrid-FETI, FETI-DP

Původní FETI metoda, zvaná také FETI-1, byla původně navržena (Farhat-Roux) pro numerické řešení inženýrských úloh popsaných eliptickými parciálními diferenciálními rovnicemi. Základní oblast je rozložena na menší nepřekrývající se podoblasti, které jsou pak k sobě lepeny pomocí Lagrangeových multiplikátorů vynucujících rovnostní vazby mezi subdoménami. Po vyeliminování primárních proměnných je původní problém redukován na menší duální problém, který je relativně dobře podmíněný. Jelikož jsou některé podoblasti zcela volné, a tedy lokální matice tuhosti singulární, je nutné při řešení lokálních problémů pracovat s tzv. zobecněnými inverzemi. Abychom se vyhnuli nutnosti používat zobecněné inverze (v té době řešené neefektivně) byla vymyšlena varianta zvaná FETI-DP (Farhat-Lesoinne-LeTallec-Pierson-Rixen, Mandel-Tezaur), ve které jednotlivé subdomény již nejsou zcela odděleny, ale zůstávají stále propojeny v tzv. rohových uzlech (corners). Díky tomuto propojení jsou lokální úlohy pozitivně definitní, a tedy není třeba využívat zobecněných inverzí. Po eliminaci vznikne symetrický pozitivně definitní duální problém, který je možno řešit např. pomocí metody předpodmíněných sdružených gradientů (PCG).

Naše varianta tzv. Total FETI metoda je blízká původní FETI metodě. I tady jsou jednotlivé subdomény zcela odděleny. Largangeovy multiplikátory zajišťují spojitost řešení mezi subdoménami, navíc však vynucují také Dirichletovy okrajové podmínky. V důsledku toho jsou všechny lokální matice tuhosti singulární (v pružnosti) s předem známými jádry (kernels, null spaces). Se znalostí bází nulového prostoru můžeme matice tuhosti efektivně zregurarizovat pomocí standardního typu Choleského rozkladu pro regulární matice.

Využití

Partneři