Superpočítání pro průmysl www.it4i.cz

Metoda hraničních prvků a BETI

Metoda hraničních prvků (BEM) slouží k modelování okrajových úloh pro lineární parciální diferenciální rovnice v případech, kdy je známo fundamentální řešení v analytickém tvaru. BEM lze použít např. pro rovnice vedení tepla, v mechanice, akustice, elektromagnetismu, a to pro statické, časově-harmonické, ale i obecné dynamické úlohy. Na rozdíl od často používané metody konečných prvků (FEM) se při použití BEM diskretizuje pouze hranice výpočetní oblasti, což významně redukuje počet neznámých ve výsledných soustavách lineárních rovnic. Toho lze využít např. ve tvarové optimalizaci. Další výhodou BEM ve srovnání s FEM je, že fundamentální řešení v sobě zahrnuje správné podmínky na chování fyzikálního pole v nekonečnu. Toho lze využít zejména při výpočtech na neomezených oblastech, např. při modelování elektromagnetismu. Nevýhodou BEM je omezení na lineární materiálové vztahy, což lze překonat párováním s FEM metodami rozložení oblasti. Další nevýhody BEM jsou náročná implementace a fakt, že výsledné matice soustavy jsou husté. To vede na vysokou paměťovou a výpočetní náročnost metody. Pro řešení reálných inženýrských úloh je proto třeba využít paralelizaci a některou variantu rychlých BEM řešičů.

Rychlé řešiče pro metodu hraničních prvků

Řešení inženýrských problémů se většinou redukuje řešení velkých soustav lineárních rovnic, které lze vyjádřit pomocí matic. Zatímco při použití metody konečných prvků jsou takto získané matice řídké (tedy obsahují jen malé množství nenulových prvků) a lze je tedy efektivně uložit do paměti počítače, při použití metody hraničních prvků dostaneme matice, které mají všechny prvky nenulové. Abychom byli schopni pomoci BEM vyřešit náročnější úlohy, je třeba získané matice aproximovat tzv. hierarchickými maticemi v kombinaci s metodou ACA (adaptive cross approximation) nebo FMM (fast multipole method). Tyto metody jsou většinou založeny na využití vhodné stromové struktury nad danou výpočetní sítí. Výpočet náročných úloh lze následně paralelizovat vhodným rozdělením daných matic na bloky a jejich distribucí jednotlivým výpočetním uzlům.

Paralelizace pomocí BETI

Boundary Element Tearing and Interconnecting (BETI) je analogií metody FETI. V obou metodách se paralelně řeší lokální Neumannovy úlohy na subdoménách, což v mechanice znamená, že pro zadanou sílu na hranici podoblasti se dopočítá odpovídající posunutí – realizuje se (pseudo)inverze tzv. Steklov-Poincarého operátoru. FETI tuto úlohu řeší pomocí diskretizace metodou FEM, která pracuje s objemovou sítí v každé subdoméně. BETI lokální Neumannovu úlohu řeší pomocí diskretizace metodou BEM, k čemuž potřebuje síť pouze na hranici subdomény. BETI ve srovnání s FETI na stejných sítích reprezentuje přesněji Neumannova data, tj. napětí na hranici v mechanice.

Využití

Partneři